數學史表明，重要的數學概念的產生和發展，對數學發展起著不可估量的作用.有些重要的數學概念對數學分支的產生起著奠定性的作用.我們剛學過的函數就是這樣的重要概念.在笛卡爾引入變量以后，變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域.縱覽宇宙，運算天體，探索熱的傳導，揭示電磁秘密，這些都和函數概念息息相關.正是在這些實踐過程中，人們對函數的概念不斷深化.
他又用函數表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標.1718年，萊布尼茨的學生、瑞士數學家貝努利把函數定義為：“由某個變量及任意的一個常數結合而成的數量.”意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數.貝努利所強調的是函數要用公式來表示.
后來數學家覺得不應該把函數概念局限在只能用公式來表達上.只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個變量的關系是否要用公式來表示，就不作為判別函數的標準.
1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數.”在歐拉的定義中，就不強調函數要用公式表示了.由于函數不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標系的曲線也叫函數.他認為：“函數是隨意畫出的一條曲線.”
當時有些數學家對于不用公式來表示函數感到很不習慣，有的數學家甚至抱懷疑態度.他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數”.1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數.”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞.
1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的.”這個定義指出了對應關系(條件)的必要性，利用這個關系，可以來求出每一個x的對應值.
1837年，德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只需有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便.因此，這個定義曾被比較長期的使用著.
自從德國數學家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應關系來定義函數概念就是現在中學課本里用的了.
