國際象棋發明人的報酬
這是印度的一個古老傳說，舍罕王打算重賞象棋發明人、宰相西薩·班·達依爾。這位聰明的大臣的胃口看來并不大，他跪在國王面前說： ‘陛下，請您在這張棋盤的第一個小格內，賞給我一粒麥子，在第二個小格內給兩粒，第三格內給四粒，用這樣下去，每一小格內都比前一小格加一倍。陛下，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧!’ ‘愛卿，你所求的并不多啊。”國王說道，心里為自己對這樣一件奇妙的發明賞賜的許諾不致破費太多而暗喜。“你當然會如愿以償的，”國王命令如數付給達依爾。 計數麥粒的工作開始了，第一格內放1粒，第二格內放2粒第三格內放2’粒，…還沒有到第二十格，一袋麥子已經空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數一格接一格飛快增長著，國王很快就看出，即便拿全印度的糧食，也兌現不了他對達依爾的諾言。 原來，所需麥�？倲� 1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1 =18446744073709551615。 這些麥子究竟有多少?打個比方，如果造一個倉庫來放這些麥子，倉庫高4公尺，寬10公尺，那么倉庫的長度就等于地球到太陽的距離的兩倍。而要生產這么多的麥子，全世界要兩千年。盡管印度舍罕王非常富有，但要這樣多的麥子他是怎么也拿不出來的。這么一來，舍罕王就欠了宰相好大一筆債。要么是忍受達依爾沒完沒了的討債，要么是干脆砍掉他的腦袋。結果究竟如何，可惜史書上沒有記載。
從這個故事中，不難看出，印度古代對等比級數已有相當的研究。 類似印度“國際象棋發明人的報酬”問題還出現在別的國度。十八世紀初期，俄國馬格尼茨的《算術》一書中的“賣馬’問題，就與“國際象棋發明人的報酬”相類似，有異曲同工之妙。 “賣馬”原題如下： 某人賣馬一匹，得錢156盧布。但是買主買到馬以后又懊悔了，要把馬退還給賣主，他說這匹馬根本不值這么多錢。于是賣主向買主提出了另一種計算馬價的方案說，如果你嫌馬太貴了，那末就只買馬蹄上的釘子好了，馬就算白送給你。每個馬蹄鐵上有6枚釘子，第一枚釘子只賣1/4個戈比(1盧布等于100戈比)，第二枚賣半個戈比，第三枚一個戈比，后面每個釘子價格依此類椎。買主認為釘子的價值總共也花不了10個盧布，還能白得一匹好馬，于是就欣然同意丁。結果買主算賬后才明白上當。試問買主在這筆交易中要虧損多少?
