手抄報一：世界七大數(shù)學(xué)難題
1、NP完全問題
例：在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認(rèn)識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認(rèn)識的人。
生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13717421可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。
人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內(nèi)計算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內(nèi)部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學(xué)中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克于1971年陳述的。
2、霍奇猜想
二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)致一些強有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進(jìn)行分類時取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件�；羝娌孪霐嘌裕瑢τ谒^射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
3、龐加萊猜想
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應(yīng)問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱證明了幾何化猜想。
在佩雷爾曼之后，先后有2組研究者發(fā)表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細(xì)節(jié)。這包括密西根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛。
2006年8月，第25屆國際數(shù)學(xué)家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
4、黎曼假設(shè)
有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數(shù)稱為素數(shù)；它們在純數(shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明。
黎曼假設(shè)之否認(rèn)：
其實雖然因素數(shù)分布而起，但是卻是一個歧途，因為偽素數(shù)及素數(shù)的普遍公式告訴我們，素數(shù)與偽素數(shù)由它們的變量集決定的。具體參見偽素數(shù)及素數(shù)詞條。
5、楊-米爾斯存在性和質(zhì)量缺口
量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系�；跅睿谞査狗匠痰念A(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個數(shù)學(xué)上令人滿意的證實。在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。
6、納衛(wèi)爾-斯托可方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對數(shù)學(xué)理論作出實質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
7、BSD猜想
數(shù)學(xué)家總是被諸如 那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數(shù)解。當(dāng)解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點的群的大小與一個有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點s=1附近的性態(tài)。特別是，這個有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在著有限多個這樣的點。
手抄報二：四色定理內(nèi)容及提出
四色問題的內(nèi)容是：“任何一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色�！庇脭�(shù)學(xué)語言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字�！�
這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區(qū)
域只相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”這個現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進(jìn)展。
求證歷程
1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家漢密爾頓爵士請教。漢密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進(jìn)行論證。但直到1865年漢密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
1872年，英國當(dāng)時最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。
肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒有一個國家包圍其他國家，或沒有三個以上的國家相遇于一點，這種地圖就說是“正規(guī)的”（左圖）。如為正規(guī)地圖，否則為非正規(guī)地圖（右圖）。一張地圖往往是由正規(guī)地圖和非正規(guī)地圖聯(lián)系在一起，但非正規(guī)地圖所需顏色種數(shù)一般不超過正規(guī)地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規(guī)地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規(guī)五色地圖就足夠了。
肯普是用歸謬法來證明的，大意是如果有一張正規(guī)的五色地圖，就會存在一張國數(shù)最少的“極小正規(guī)五色地圖”，如果極小正規(guī)五色地圖中有一個國家的鄰國數(shù)少于六個，就會存在一張國數(shù)較少的正規(guī)地圖仍為五色的，這樣一來就不會有極小五色地圖的國數(shù)，也就不存在正規(guī)五色地圖了。這樣肯普就認(rèn)為他已經(jīng)證明了“四色問題”，但是后來人們發(fā)現(xiàn)他錯了。
不過肯普的證明闡明了兩個重要的概念，對以后問題的解決提供了途徑。第一個概念是“構(gòu)形”。他證明了在每一張正規(guī)地圖中至少有一國具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家都有六個或更多個鄰國的正規(guī)地圖，也就是說，由兩個鄰國，三個鄰國、四個或五個鄰國組成的一組“構(gòu)形”是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構(gòu)形中的一個。
肯普提出的另一個概念是“可約”性�！翱杉s”這個詞的使用是來自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國具有四個鄰國，就會有國數(shù)減少的五色地圖。自從引入“構(gòu)形”，“可約”概念后，逐步發(fā)展了檢查構(gòu)形以決定是否可約的一些標(biāo)準(zhǔn)方法，能夠?qū)で罂杉s構(gòu)形的不可避免組，是證明“四色問題”的重要依據(jù)。但要證明大的構(gòu)形可約，需要檢查大量的細(xì)節(jié)，這是相當(dāng)復(fù)雜的。
11年后，即1890年，在牛津大學(xué)就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普說沒有極小五色地圖能有一國具有五個鄰國的理由有破綻。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發(fā)現(xiàn)他們實際上證明了一個較弱的命題——五色定理。就是說對地圖著色，用五種顏色就夠了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認(rèn)識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，美國著名數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)的伯克霍夫利用肯普的想法，結(jié)合自己新的設(shè)想；證明了某些大的構(gòu)形可約。后來美國數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進(jìn)到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國�？磥磉@種推進(jìn)仍然十分緩慢。
信息時代的成功
高速數(shù)字計算機的發(fā)明，促使更多數(shù)學(xué)家對“四色問題”的研究。從1936年就開始研究四色猜想的海克，公開宣稱四色猜想可用尋找可約圖形的不可避免組來證明。他的學(xué)生丟雷寫了一個計算程序，�？瞬粌H能用這程序產(chǎn)生的數(shù)據(jù)來證明構(gòu)形可約，而且描繪可約構(gòu)形的方法是從改造地圖成為數(shù)學(xué)上稱為“對偶”形著手。
他把每個國家的首都標(biāo)出來，然后把相鄰國家的首都用一條越過邊界的鐵路連接起來，除首都（稱為頂點）及鐵路（稱為弧或邊）外，擦掉其他所有的線，剩下的稱為原圖的對偶圖。到了六十年代后期，�？艘M(jìn)一個類似于在電網(wǎng)絡(luò)中移動電荷的方法來求構(gòu)形的不可避免組。在海克的研究中第一次以頗不成熟的形式出現(xiàn)的“放電法”，這對以后關(guān)于不可避免組的研究是個關(guān)鍵，也是證明四色定理的中心要素。
電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。美國伊利諾大學(xué)哈肯在1970年著手改進(jìn)“放電過程”，后與阿佩爾合作編制一個很好的程序。就在1976年6月，他們在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明，轟動了世界。
這是一百多年來吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成果發(fā)表的時候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。
“四色問題”的被證明不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計算技巧。如將地圖的著色問題化為圖論問題，豐富了圖論的內(nèi)容。不僅如此，“四色問題”在有效地設(shè)計航空班機日程表，設(shè)計計算機的編碼程序上都起到了推動作用。
不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計算機取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡捷明快的書面證明方法。直到現(xiàn)在，仍由不少數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者在尋找更簡潔的證明方法。
幾何證明
在平面地圖中，為了區(qū)分相鄰的圖形，相鄰圖形需要使用不同的顏色來上色，與這兩個相鄰圖形都有鄰邊的圖形需要使用第三種顏色，我們先假設(shè)四色定理成立，根據(jù)四色定理得出在一個平面內(nèi)最多有四個互有鄰邊的圖形，而因為第四個與三個互有鄰邊的圖形都有鄰邊的圖形有鄰邊的圖形會包圍一個圖形，所以一個平面內(nèi)互有鄰邊的圖形最多有四個，所以四色定理成立（互有鄰邊，舉例： 三個互有鄰邊的圖形——A和B有鄰邊 C和AB都有鄰邊）
