數(shù)學(xué)是利用符號(hào)語(yǔ)言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間等概念的一門學(xué)科。借助語(yǔ)言闡述關(guān)系(數(shù)量關(guān)系，結(jié)構(gòu)關(guān)系，前后變化關(guān)系)的學(xué)科，透過(guò)抽象化和邏輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的定理。注意：公式也是語(yǔ)等價(jià)轉(zhuǎn)換。公式不僅僅涉及到數(shù)量的關(guān)系，也涉及到性質(zhì)的關(guān)系。
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識(shí)與運(yùn)用總是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見(jiàn)。從那時(shí)開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅的進(jìn)展，直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期，因?yàn)楹托碌目茖W(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識(shí)的加速發(fā)展，直至今日。
今日，數(shù)學(xué)使用在世界不同的領(lǐng)域中，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等。數(shù)學(xué)對(duì)這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，也就是數(shù)學(xué)本身，而不以任何實(shí)際應(yīng)用為目標(biāo)。雖然許多研究以純數(shù)學(xué)開始，但其過(guò)程中也能發(fā)現(xiàn)許多應(yīng)用之處。
創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國(guó)的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純粹數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。布學(xué)派認(rèn)為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)(群，環(huán)，域……)，序結(jié)構(gòu)(偏序，全序……)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(鄰域，極限，連通性，維數(shù)……)。
