使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西于1821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。這就是所謂極限概念的“算術化”。后來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由于實數的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。

　　柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理;戴德金建立了有名的戴德金分割;康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數。1892年，另一個數學家創用“區間套原理”來建立實數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多杰出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。