可是，好景不長。1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的!這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢?根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S;反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。
3.6 羅素其實(shí)，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。1899年，康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論。但是，由于這兩個(gè)悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論，所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點(diǎn)小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng)。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說：“一個(gè)科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結(jié)束時(shí)，其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個(gè)境地。”戴德金也因此推遲了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版�？梢哉f，這一悖論就象在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。
危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過對(duì)集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾;另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自已這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。
以上簡單介紹了數(shù)學(xué)史上由于數(shù)學(xué)悖論而導(dǎo)致的三次數(shù)學(xué)危機(jī)與度過，從中我們不難看到數(shù)學(xué)??出問題就是解決問題的一半”，而數(shù)學(xué)悖論提出的正是讓數(shù)學(xué)家無法回避的問題。它對(duì)數(shù)學(xué)家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系!”正如希爾伯特在<論無限>一文中所指出的那樣：“必須承認(rèn)，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們?cè)囅耄涸跀?shù)學(xué)這個(gè)號(hào)稱可靠性和真理性的模范里，每一個(gè)人所學(xué)的、教的和應(yīng)用的那些概念結(jié)構(gòu)和推理方法竟會(huì)導(dǎo)致不合理的結(jié)果。如果甚至于數(shù)學(xué)思考也失靈的話，那么應(yīng)該到哪里去尋找可靠性和真理性呢?”悖論的出現(xiàn)逼迫數(shù)學(xué)家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應(yīng)運(yùn)而生了：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了公理幾何與邏輯的誕生;第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了分析基礎(chǔ)理論的完善與集合論的創(chuàng)立;第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)由此獲得了蓬勃發(fā)展，這或許就是數(shù)學(xué)悖論重要意義之所在吧。
