這是久違的奎貝爾教授.奎貝爾教授：“我又為你們想出一個(gè)問題.在我飼養(yǎng)的動(dòng)物中，除了兩只以外所有的動(dòng)物都是狗，除了兩只以外，所有的都是貓，除了兩只以外所有的都是鸚鵡，我總共養(yǎng)了多少只動(dòng)物?你想出來了嗎?
奎貝爾教授只養(yǎng)了三只動(dòng)物：一只狗，一只貓和一只鸚鵡。除了兩只以外所有的都是狗，除了兩只以外所有的都是貓，除了兩只以外所有的都是鸚鵡。
如果你領(lǐng)悟到“所有”這個(gè)詞可以指僅僅一只動(dòng)物的話，頭腦中就有了這個(gè)問題的答案。最簡單的情況一只狗，一只貓，一只鸚鵡，既是其解。然而，把這個(gè)問題用代數(shù)形式來表示也是一次很好的練習(xí)。
令x，y，z分別為狗，貓，鸚鵡的只數(shù)，n為動(dòng)物的總數(shù)，我們可以寫出下列四個(gè)聯(lián)立方程：
n=x+2
n=y+2
n=z+2
n=x+y+z
解此聯(lián)立方程有許多標(biāo)準(zhǔn)方法。顯然，根據(jù)前三個(gè)方程式，可得出x=y=z。由于3n=x+y+z+6減去第四個(gè)方程，得到n=3，因此x+2=3，所以x=1。全部答案可由x值求得。
由于動(dòng)物只數(shù)通常是正整數(shù)(誰養(yǎng)的貓是用分?jǐn)?shù)來表示只數(shù)的?)，可以把奎貝爾教授的動(dòng)物問題看作所謂刁番圖問題的一個(gè)平凡例子。這是一個(gè)其方程解必須是整數(shù)的代數(shù)問題。一個(gè)刁番圖方程有時(shí)無解，有時(shí)只有一個(gè)解，有時(shí)有不止一個(gè)或個(gè)數(shù)有限的解，有時(shí)有無窮多個(gè)解。下面是一個(gè)難度稍大的刁番圖問題，同樣也與聯(lián)立方程和三種不同的動(dòng)物有關(guān)。
一頭母牛價(jià)格10元錢，一頭豬價(jià)格3元錢，一頭羊價(jià)格0.5元錢。一個(gè)農(nóng)夫買了一百頭牲口，每種至少買了一頭，總共花了100元錢，問每種牲口買了多少頭?
令x為母牛的頭數(shù)，y為豬的頭數(shù)，z為羊的頭數(shù)，可以寫下如下兩個(gè)方程式：
10x+3y+z/2=100
x+y+z=100
把第一個(gè)方程中的各項(xiàng)都乘以2消去分?jǐn)?shù)，再與第二個(gè)方程相減以便消去z，這樣得到下列方程式：
19x+5y=100
x和y可能有那些整數(shù)值?一種解法是把系數(shù)最小的項(xiàng)放到方程的左邊：5y=100-19x，把兩邊都除以5得到：
y=(100-19x)/5
再把100和19x除以5，將余數(shù)(如果有的話)和除數(shù)5寫成分?jǐn)?shù)的形式，結(jié)果為：
y=20-3x-4x/5
顯然，表達(dá)式4x/5必須是整數(shù)，亦即x必須是5的倍數(shù)。5的最小倍數(shù)既是其自身，由此得出y的值為1，將x，y的值帶入任何一個(gè)原方程，可得z等于94。如果x為任何比5更大的5的倍數(shù)，則y變?yōu)樨?fù)數(shù)。所以，此題僅有一個(gè)解：5頭母牛，一頭豬和94頭羊。你只要把這個(gè)問題中牲口的價(jià)錢改變一下，便可以學(xué)到許多初等刁番圖分析的知識(shí)。例如，設(shè)母牛價(jià)錢為4元錢，豬的價(jià)錢為2元錢，羊的價(jià)錢為三分之一元錢，一個(gè)農(nóng)夫準(zhǔn)備花一百元錢買一百頭牲口，并且每種牲口至少買一頭，試問他每種牲口可以買多少頭?關(guān)于這一問題，恰好有三種解。但是如果母牛價(jià)錢為5元錢，豬的價(jià)錢為2元錢，羊0.5元錢呢?那就無解。
刁番圖分析是數(shù)論的一大分支，其實(shí)際應(yīng)用范圍極廣。有一個(gè)著名的刁番圖問題，以費(fèi)馬最后定理而著稱：設(shè)有方程xn+yn=zn，其中n是大于2的正整數(shù)，問此方程是否有整數(shù)解(如果n=2，則稱此為畢達(dá)格拉斯三元數(shù)組，具有自32+42=52起始的無窮多組解)?這是一個(gè)最著名的數(shù)論問題，已經(jīng)由英國數(shù)學(xué)家安德魯。威爾斯解決，他用于解決此問題的方法可以說是大大出乎人們的意料，他應(yīng)用了一種叫做橢圓函數(shù)的理論，實(shí)際上，他證明的并不是方程本身，而是在橢圓函數(shù)領(lǐng)域中另一個(gè)著名的猜想：谷山-志村猜想。由于橢圓函數(shù)的模形式與費(fèi)馬最后定理同構(gòu)，所以，等于是從側(cè)面攻破了這個(gè)300多年的大難題。
