幻方又稱魔方，或叫縱橫圖。它的一般定義是將從1到n2的自然數排列成縱橫格有n個數的正方形，使在同一行，同一列或同一對角線上的幾個數的和都相等。世界學術界都一致公認最早的幻方起源于中國。
46 81 117 102 15 76 200 203
19 60 232 175 54 69 153 78
216 161 17 52 171 90 58 75
135 114 50 87 184 189 13 68
150 261 45 38 91 136 92 27
119 104 108 23 174 225 57 30
116 25 133 120 51 26 162 207
39 34 138 243 100 29 105 152
這個八階幻方，它的每行，每列及每條對角線上的8個數字之和全部一樣，這個常數是840；然而不僅如此，它的每行、每列及每條對角線上的數字之乘積竟然也完全相同。這個常數是2，058，068，231，856，000。讀者如果不信，可以自己動手算一算。
相關資料：
幻方的定義:
n階幻方是由前n^2個自然數組成的一個n階方陣，其各行、各列及兩條對角線所含的n個數的和相等
幻方的歷史:
幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，它最早起源于我國。
宋代數學家楊輝稱之為縱橫圖。
所謂縱橫圖，它是由1到n^2,這n^2個自然數按照一琿的規律排列成N行、N列的一個方陣。它具有一種廳妙的性質，在各種幾何形狀的表上排列適當的數字，
大約兩千多年前西漢時代,流傳夏禹治水時,黃河中躍出一匹神馬,馬背上馱著一幅圖,人稱「河圖」;又洛水河中浮出一只神龜,龜背上有一張象征吉祥的圖案稱為「洛書」.
他們發現,這個圖案每一列,每一行及對角線,加起來的數字和都是一樣的,這就是我們現在所稱的幻方.也有人認為"洛書"是外星人遺物;而"河圖"則是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序規則,幻方是外星人向地球人的自我介紹.另外前幾年在上海浦東陸家嘴地區挖出了一塊元朝時代伊斯蘭教信徒所掛的玉掛,玉掛的正面寫著:「萬物非主,惟有真宰,默罕默德,為其使者」,而玉掛的另一面就是一個四階幻方.
關于幻方的起源，我國有“河圖”和“洛書”之說。相傳在遠古時期，伏羲氏取得天下，把國家治理得井井有條，感動了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方。伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦，后來大禹治洪水時，洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”�！奥鍟彼嫷膱D中共有黑、白圓圈45個。把這些連在一起的小圓和數目表示出來，得到九個。這九個數就可以組成一個縱橫圖，人們把由九個數3行3列的幻方稱為3階幻方，除此之外，還有4階、5階...
后來，人們經過研究，得出計算任意階數幻方的各行、各列、各條對角線上所有數的和的公式為：
S=n(n ^2+1) /2
其中n為幻方的階數，所求的數為S.
幻方最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中，這說明我國人民早在2500年前就已經知道了幻方的排列規律。而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。
我國不僅擁用幻方的發明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。公元13世紀的數學家楊輝已經編制出3－10階幻方，記載在他1275年寫的《續古摘廳算法》一書中。在歐洲，直到574年，德國著名畫家丟功才繪制出了完整的四階幻方。
而在國外,十二世紀的阿拉伯文獻也有六階幻方的記載,我國的考古學家們曾經在西安發現了阿拉伯文獻上的五塊六階幻方,除了這些以外,歷史上最早的四階幻方是在印度發現的,那是一個完全幻方(后面會提到),而且比中國的楊輝還要早了兩百多年,印度人認為那是天神的手筆.
1956年西安出土一鐵片板上所刻的六階幻方(古阿拉伯數字)
十三世紀,東羅馬帝國才對幻方產生興趣,但卻沒有什么成果.
直到十五世紀,住在君士坦丁堡的魔索普拉才把我國的縱橫圖傳給了歐洲人,歐洲人認為幻方可以鎮壓妖魔,所以把它作為護身符,也把它叫作「Magic Square」.
歐洲最早的幻方是在德國一位名畫家Albrecht Dure的畫里的,
上面有一個四階幻方,而這個幻方的下面兩個數字正好是這幅畫的制作年代(1514年).這是歐洲最古老的幻方.
幻方世界紀錄:
目前我國取得不少幻方世界紀錄:幻方專家李文第一位構造成功10階標準幻立方,第一位構造出最低階729階五次幻方,和多項平方幻方世界紀錄,幻方專家蘇茂挺第一位構成功32階完美平方幻方.等.
提醒大家注意,任意階幻方構造法,任意維幻方構造法,任意次幻方構造法,都早已找到.
不存在最大階幻方的世界紀錄之類.
對于各種媒體報導的幻方世界之最,很多是不實報導.不存在未解最大階數幻方.
幻方未解難題請參看:
中國幻方網站:
http://www.zhghf.net/
法國高次幻方網站:
http://cboyer.club.fr/multimagie/index.htm
幻方的種類:
現在的幻方種類很多，如
一般幻方,對稱幻方,同心幻方,完美幻方
平面幻方(二維),幻立方(三維),多維幻方,
平方幻方,立方幻方,高次幻方,高次多維幻方.
魔鬼幻方,馬步幻方,多重幻方,六角幻方,雙料幻
幻方欣賞:
中國幻方網站:
http://www.zhghf.net/
中國幻方博客:
http://q.blog.sina.com.cn/klxnyy/profile/
法國高次幻方網站:
http://cboyer.club.fr/multimagie/index.htm
日本多維幻方網站:
http://homepage2.nifty.com/googol/magcube/en/index.htm
富蘭克林的幻方:
http://t1.baidu.com/it/u=1477471302,3332291160&gp=2.jpg
九階平方幻方:
http://cslab.stu.edu.cn/English/Pfeffermann9.asp
編制幻方的程序
目前利用計算機編程序,可求解出任意階幻方.(但數字位數受電腦限制,實際上只能是有限范圍內的任意階)
對于某些平方幻方,高次幻方,利用計算機輔助計算,也可快速求得.
一次幻方,一次幻立方,一次多維幻方,甚至可用簡單公式全部求得.
某些類型的平方幻方,甚至高次高維幻方,也可用公式求得.
在幻方公式求解方法,我國處于世界領先水平.我國李文的高維高次幻方公式,是幻方理論中的精品.吳碩辛的高次幻方理論,也可用公式求解.
幻方的構造
在《射雕》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍潭，躲進瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題：數字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對角線上
4 9 2
3 5 7
8 1 6
這就是一個最簡單的3階平面幻方。因為幻方的智力性和趣味性，很游戲和玩具都與幻方有關，如捉放曹、我們平時玩的六面體，也成為學習編程時的常見問題。
幻方又稱縱橫圖、九宮圖，最早記錄于我國古代的洛書。據說夏禹治水時，河南洛陽附近的大河里浮出了一只烏龜，背上有一個很奇怪的圖形，古人認為是一種祥瑞，預示著洪水將被夏禹王徹底制服。后人稱之為"洛書"或"河圖"，又叫河洛圖。
南宋數學家楊輝，在他著的《續古摘奇算法》里介紹了這種方法：只要將九個自然數按照從小到大的遞增次序斜排，然后把上、下兩數對調，左、右兩數也對調；最后再把中部四數各向外面挺出，幻方就出現了。 (摘自《趣味數學辭典》)
最簡單的幻方就是平面幻方，還有立體幻方、高次幻方等。對于立體幻方、高次幻方目前世界上很多數學家仍在研究，現在只討論平面幻方。
對平面幻方的構造，分為三種情況：N為奇數、N為4的倍數、N為其它偶數(4n+2的形式)
�、� N 為奇數時，最簡單
(1) 將1放在第一行中間一列;
(2) 從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放：
按 45°方向行走，如向右上
每一個數存放的行比前一個數的行數減1，列數加1
(3) 如果行列范圍超出矩陣范圍，則回繞。
例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數同樣加1;
(4) 如果按上面規則確定的位置上已有數，或上一個數是第1行第n列時，
則把下一個數放在上一個數的下面。
�、� N為4的倍數時
采用對稱元素交換法。
首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣
然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上位置的數關于方陣中心作對
稱交換，即a(i,j)與a(n-1-i,n-1-j)交換，所有其它位置上的數不變。
(或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)
�、� N 為其它偶數時
當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階)子方陣。
按上述奇數階幻方給分解的4個子方陣對應賦值
上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)
即4個子方陣對應元素相差v，其中v＝n*n/4
四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③
④ ②
然后作相應的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(j<t或j>n-t+2),
a(t-1,0)與a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對元素交換
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。
