一切事物都受隨機性的影響。作為當今世界上對隨機過程理解最深刻的人，法國概率理論家米歇爾·塔拉格蘭做出了深遠的貢獻，他的工作重塑了概率論的幾個領域。他是一位杰出的數學家，也是一位出色的問題解決者。
我們的人生，會經歷無數的隨機事件。它們有些是預料之中的，有些則完全出乎意料。就算是當今世界上對隨機過程理解最深刻的人，也無法預知自己會在北半球春分這一天，摘得數學界的最高獎項之一。
北京時間2024年3月20日，法國概率理論家米歇爾·塔拉格蘭(Michel Talagrand)被授予了阿貝爾獎，以表彰他對隨機過程深刻而復雜的理解。這是數學家事實上的終身成就獎。獎金高達750萬挪威克朗(約合70萬美元)，這是為了彌補諾貝爾獎項里未設立數學獎，以及菲爾茲獎獎金微薄的缺憾。
當得知自己是今年的阿貝爾獎得主時，“我的腦子一片空白，”塔拉格蘭說，“我剛學習數學的時候，(它)一點也不時髦。(隨機過程)被認為是低劣的數學。我獲得這個獎項的事實絕對證明了事實并非如此。”
人類在不確定性中尋找確定性。隨機過程是一門以追求確定性為目標研究不確定性和隨機性的學科。它不僅僅是關于概率的計算，更是關于理解復雜系統中的模式和規律。塔拉格蘭通過對隨機性的深入研究，將高維幾何工具應用于復雜的概率問題，向我們揭示出隱藏在表象之下的結構和美。即使在最不可預測的環境中，也存在著一種內在的邏輯和秩序。
塔拉格蘭相信，正是生命中那些不可預測的隨機事件，賦予了他某些品質，推著他走上了數學之路。
童年：命運投下的陰翳
塔拉格蘭出生時便確診患有先天視網膜缺陷。在他5歲時，一只眼睛因視網膜脫落而徹底失明。
他在法國里昂勉強讀完了小學，雖然他對科學很感興趣，但他不喜歡學習，因為讀書、寫字會帶來用眼負擔。塔拉格蘭從小就被籠罩在某天再也無法看到光明的恐懼陰影之中。
仿佛是為了佐證著名的墨菲定律——擔心的壞事總會發生，在他15歲的時候，另一只眼睛連續三次視網膜脫離，迫使他在醫院住了一個月，眼睛纏著繃帶。
法國概率理論家米歇爾·塔拉格蘭15歲時與妹妹的合照。此時塔拉格蘭另一只眼睛的視網膜亦出現問題，需經常前往醫院觀察和治療。
幸運的是，塔拉格蘭有一位全心支持他的父親。后者也是一位數學教授，對塔拉格蘭的數學人生有著深遠影響。
父親對他充滿信心，即使他在考試中的拼寫和語法出現錯誤，父親仍然盡力爭取他升上高中的機會。在他15歲進行眼部手術和術后修養期間，父親每天都從學校趕來看望，并教授他一些數學理論，借此讓他的大腦忙碌起來，逐漸培養了他對這門學科的興趣。
出院后，他一學期已缺課4個月之久，但他堅持自學完成了數學和物理課程。塔拉格蘭所就讀中學的校長要求他重修上一學期的課程，但他的父親相信他已經掌握了課程內容，說服校長讓他參加年級考試，最終證明了他的能力，直接成為了數學和物理科的優秀學生。
幾何是塔拉格蘭的苦手，每當遇到困難時，他都會向父親請教，而父親總是耐心解答，成為他堅持不懈的動力。漸漸地，他開始自己解決大部分數學問題，這成為了他學習階段的極大樂趣，甚至成為了撫平眼疾痛苦的一種安慰。“這就是我掌握抽象力量的方式。”塔拉格蘭在2019年獲得邵逸夫獎后寫道。這是另一個重要的數學獎項，獎金為120萬美元。
米歇爾·塔拉格蘭教授直言，如果沒有眼疾，他或許會選擇不同的人生道路。一只眼睛失明，另一只眼則在10多歲屢次視網膜脫落。對他來說，時間尤其寶貴，因擔心自己某天一覺醒來完全失明，所以要在能看得見的時候，把所有精力集中于學習之上。他回憶說，當時自己的視力還不算太差，很近的東西都能看得清楚，“只要出現視網膜脫落的癥狀，就盡快求診，情況是可以控制的，只是眼疾令我經�；钤诤ε率鞯幕炭种�。”
他最大感受是，他在學習過程中付出了最大的努力，而收獲也超出了他的預期，這是最珍貴的成就。
轉機：命運女神的青睞
專注于學業后，塔拉格蘭在數學方面的表現尤為出色。1974年大學畢業后，他被歐洲最大的研究機構法國國家科學研究中心(CNRS)聘用，在那里他一直工作到2017年退休。
一開始，瀕臨失明的陰云仍懸在塔拉格蘭的頭頂。他后來回憶說：“我知道眼球轉動時，眼內玻璃體會因黏著視網膜而容易導致視網膜脫落，于是我研究了一套提前自我診斷前兆的方法，讓我減輕了對視網膜脫落的恐懼。”
在1981年，不可預測的小概率事件發生了——醫療技術的發展帶來激光手術，恰好可以治療他的視網膜問題，讓他擺脫了隨時可能失明的痛苦。
在此期間，他獲得了博士學位，贏取了一位統計學家的芳心。他對自己未來的妻子一見鐘情——認識僅三天后便向她求婚。在各種意義上，Wansoo Rhee女士成了塔拉格蘭的幸運女神，除了帶來美滿的婚姻外，還使他轉向了概率論——他學術生涯中最成功的領域。他發表了數百篇關于概率論的論文。
2019年，在臺上當眾發表邵逸夫獎獲獎感言時，塔拉格蘭飽含深情地回憶道：
“我一生中最幸運的事件是在俄亥俄州肯特市遇到了一位了不起的博士生，她立即俘獲了我的心。認識3天后，我便向她求婚。你瘋了，她說。我跟著她去了韓國。她又把傷心的我送回了法國。
“在回家的路上，我們在香港停留了一下。我恰巧知道一個信譽良好的首飾商人的地址，在那里我給她買了一條我能買得起的最好的珍珠項鏈作為臨別禮物。我的真摯舉動打動了她，兩人的故事得以繼續。
“她的父親是韓國知名學者，從小就相信學術成就是人生的最高價值。我常常在想，她決定嫁給我的原因，是因為我的數學水平，而非我帥氣的外表(笑)。
“盡管她擁有充實的職業生涯，但她一直非常支持我。我從來沒有聽見過我最害怕的那句話：現在不是工作的時候。
“這并不意味著我忽視了家人。數學成功的秘訣是每天工作到筋疲力盡，但不能更多。當她說我一生中99%的時間都花在數學上，1%的時間花在她身上時，不要相信她!她至少得到了2%。
“有了完美的配偶，剩下的一切都很容易。我希望我能說我對數學有一個宏偉的愿景，但現實卻大不相同。我只懂很少的數學。我只是試著解決我遇到的問題，總是試圖追根究底。我沒有研究時髦的領域，但我專注于簡單的通用結構，因為那里有重要的問題。我非常感謝Gilles Pisier，Vitali Milman和其他人，他們向我介紹了我最成功的領域�，F代科學就像一座宏偉的廟宇，在永恒的建造中。我很自豪我能為它的地基貢獻一塊小磚。”
成就：教我們“看”隨機的大師
其他數學家也會同意，塔拉格蘭的工作“改變了人類看待世界的方式”。阿貝爾獎委員會主席赫爾格·霍爾登(Helge Holden)認為，“通過隨機過程描述和模擬現實世界的事件正變得非常流行。塔拉格蘭的工具箱馬上就出現。”
想一想不久前火爆一時的AI視頻生成工具sora，大多數人都會贊同上面的看法。
塔拉格蘭的職業生涯始于研究高維幾何空間。“10年里，我沒有發現自己擅長什么。”他說，但他并不后悔這段彎路。這最終將他引向了概率論，在那里“我的經歷帶來了另一種觀點……給我一種以不同方式看待事物的方式。“這使他能夠通過高維幾何學的視角來檢查隨機過程。
“他用他的幾何直覺來解決純粹的概率問題。” 普林斯頓大學數學教授阿薩夫·諾爾(Assaf Naor)說。
隨機過程是事件的集合，其結果以可以建模的方式根據機會而變化——比如一系列拋硬幣、氣體中原子的軌跡或每日總降雨量。數學家想要了解個體結果和總體行為之間的關系。
塔拉格蘭花了15年時間開發出一種稱為generic chaining的技術，使他能夠創建與這種隨機過程相關的高維幾何空間。諾爾評價稱，他的方法“給了你一種從幾何中看最大值的方法。”
該技術非常通用，因此應用廣泛。如果我們想要分析依賴于數千個參數的海量高維數據集。為了得出有意義的結論，需要保留數據集最重要的特征，同時僅用幾個參數來表征它。如分析和比較不同蛋白質的復雜結構的工作就是如此。許多最先進的方法通過應用隨機操作，將高維數據映射到低維空間來實現這種簡化。數學家可以使用generic chaining確定此過程引入的最大誤差，從而使他們能夠確定簡化數據集中未保留某些重要特征的可能性。
塔拉格蘭的工作不局限于分析隨機過程的最佳和最壞結果。他還研究了在平均情況下會發生什么。
在許多過程中，隨機的單個事件總體上會導致高度確定性的結果。如果測量是獨立的，那么總數就變得非�？深A測，即使每個單獨的事件都無法預測。
為了介紹度量集中(Concentration of measure)的概念，這里先提供一個非常有意思的思考題，大家可以測試一下自己的概率直覺。
假設稍后要擲硬幣100 次——可以給出一系列正面(H)和反面(T)的序列。
現在你有選擇權，可以選擇積分規則。
規則A：對于序列中的每個HH，你會都會得到一分;對于每個HT，對手都會得一分。
規則B：反過來，對于序列中的每個HH，對手會都會得到一分;對于每個HT，則你得一分。
比如說序列片段HHHT，按A規則就是你得2分，對手1分。
問：為了積分高于對手，你應該選擇哪條規則?又或者說，兩條規則的獲勝概率是一樣的?
拋一枚均勻的硬幣。你無法提前說出將會發生什么。翻轉10次，大約66%的概率會出現4、5或6個正面，接近5個正面的期望。但拋硬幣1000次，99.7%的情況下，正面朝上的概率會在450到550之間，結果更加集中在期望值500附近。在平均值附近，結果異常尖銳。
“盡管某些事物具有如此多的隨機性，但隨機性會自行抵消，”諾爾說，“最初看似一團糟的事情實際上是有組織的。
這種現象就是度量集中性，也發生在更復雜的隨機過程中。塔拉格蘭提出了一系列不等式，使得對集中性的量化分析成為可能，并證明它可用在許多不同的情況。他打造的工具標志著該領域的新階段。他在2019年的論文中寫道，第一次證明這種不等式存在是“一次神奇的經歷”。他“一直處于興高采烈的狀態”。
塔拉格蘭特別自豪的是，他隨后得出了約束集中性的不等式。“要得到一個適用于全宇宙的結果并不容易，何況同時又有一個易于解釋的一頁證明。”他說。
他高興地回憶，他曾被一家出租車服務公司的車主認出了名字，因為后者在商學院的概率課上學到了以他命名的不等式。“這太了不起了。”他說。
當代數學大師，2024年阿貝爾獎得主米歇爾·塔拉格蘭發表獲獎感言| 圖源: The Abel Prize官網直播畫面
就像他的generic chaining一樣，塔拉格蘭的集中不等式出現在各個數學分支中。“它的應用范圍之廣真是神奇。”諾爾說,“塔拉格蘭的不等式是將事物聯系在一起的螺絲釘。”
類似的方法已被用于證明組合學、物理學、計算機科學、統計學和其他環境中的集中現象。
最近，塔拉格蘭運用他對隨機過程的理解來證明一個關于自旋玻璃的重要猜想。自旋玻璃是一種磁性合金材料的亞穩定狀態。在這種狀態中，材料的磁矩方向(自旋)是隨機凍結的，顯示出長程無序性。這與鐵磁性狀態和反鐵磁性狀態不同，后兩者的磁矩分布是長程有序的。自旋玻璃的“玻璃”一詞實際上是指這種長程無序狀態，類似于我們通常所說的玻璃——玻璃是非晶體。
令塔拉格蘭感到沮喪的是，盡管自旋玻璃在數學上定義明確，但物理學家比數學家更了解它們。“這是我的眼中釘。”他說。他證明了一個結果——關于所謂的自旋玻璃的自由能——為一個更數學的理論奠定了基礎。
在他的整個職業生涯中，塔拉格蘭的研究一直以“這種退后一步并找到在任何地方都可以重復使用的一般原則的能力”為標志，諾爾說。“他重新審視，從各種角度思考一些事情。最終，他提出了一個見解，成為每個人都在使用的方法論。”
“我喜歡慢慢消化理解簡單的事物，因為我腦子很慢。”塔拉格蘭說，“所以我總是考慮了很長一段時間。”他的驅動力是“以一種純粹的方式深入理解一些東西，這使得理論變得容易得多。然后，下一代人就可以從那里開始，按照自己的方式取得進步。
在過去的十年里，他通過編寫教科書來實現這一目標——不僅僅是關于隨機過程和自旋玻璃，還有關于他根本不擅長的領域——量子場論。他本來想了解一下這一領域，但意識到他能找到的所有教科書都是由物理學家寫的，也是為物理學家寫的，而不是為數學家寫的!所以他自己寫了一本。“在你不能發明新東西之后，你還可以解釋它們。”他說。
現在，塔拉格蘭正在用他最近幾年獲得的各項獎金(如邵逸夫獎的120萬美元)的一部分，以及剛剛的阿貝爾獎獎金，來設立自己的獎項，以“表彰年輕的研究人員在我畢生致力于斯的領域里所能取得的成就“。項目名為Become RICH with my prizes(用我的獎金變富有吧~，鏈接見參考[6])。
他對自己的學生和讀者向來十分慷慨：“如果你急于得到我的書，但又負擔不起購買費用，可以嘗試在搜索引擎中輸入‘library genesis’。我不鼓勵盜版，但這個網站讓我少跑了很多趟圖書館，可惜圖書館沒有電子版的舊書。”
最后，關于之前的那個思考題，答案是選B。您猜對了嗎?
如果只投擲硬幣5、6次，可以發現規則A更加有利。但是當次數足夠多的時候，HT獲勝的概率變高了。因為H和T的數學期望是一樣的，但是分布不同。相當于說HH最高時可能得90分，但此時H分布過于集中，就意味著在其余片段里H變得稀少。HT最高50分，但更平均。A策略超過50分的部分都浪費了。
此即前文所言，由于集中現象，“隨機的單個事件總體上會導致高度確定性的結果”，“盡管某些事物具有如此多的隨機性，但隨機性會自行抵消”。雖然H和T本身都是隨機的，但因為我們所關心的，準備測量的分布(HH和HT)的集中程度有所不同，數據足夠大的時候，就出現了整體上相對不隨機的結果。
從這個例子中，大家應該也能領會概率和隨機現象是如何地反直覺。
