如果把一個自然數(shù)的所有的約數(shù)（本身不在內）加起來能恰好等于這個數(shù)時，這樣的自然數(shù)就叫完全數(shù)。例如28除掉本身之外有5個約數(shù)，那就是1、2、4、7、14，而，1+2+4+7+14=28，28就是完全數(shù)。最小的完全數(shù)是6（1+2+3），古代意大利把6看作是屬于愛神維納斯的數(shù)，象征美滿的婚姻。
早在歐幾里得時期就知道完全數(shù)可由公式N=（2n-1）（2n—1）給出。這里的第二個因子2n—1必須是個素數(shù)。
奇怪的是，所有已發(fā)現(xiàn)的完全數(shù)都是以6或28結尾的。到目前為止，所有的完全數(shù)都是偶數(shù)，甚至連一個奇完全數(shù)都未發(fā)現(xiàn)過，可是也仍然未能證明奇完全數(shù)是不存在的。
相關資料：
完全數(shù)（Perfect number，又稱完美數(shù)）是一些特殊的自然數(shù)。
【定義】
若一個自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身，這種數(shù)叫做完全數(shù)。
例如，
6=1+2＋3
28=1＋2＋4＋7＋14
496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064
對于“4”這個數(shù)，它的真因子有1、2，其和是3。由于4本身比其真因子之和要大，這樣的數(shù)叫做盈數(shù)。對于“12”這個數(shù)，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小
【性質】
完全數(shù)有許多有趣的性質：
�、彼鼈兌寄軐懗蛇B續(xù)自然數(shù)之和。
如：6 = 1+2+3；
28 = 1+2+3+4+5+6+7；
496 = 1+2+3+……+30+31；
……
�、菜鼈兊娜恳驍�(shù)的倒數(shù)之和都是2,因此每個完全數(shù)都是調和數(shù)。
如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；
……
【歷史】
公元前6世紀的畢達哥拉斯是最早研究完全數(shù)的人，他已經知道6和28是完全數(shù)。畢達哥拉斯曾說：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身�！辈贿^，或許印度人和希伯來人早就知道它們的存在了。有些《圣經》注釋家認為6和28是上帝創(chuàng)造世界時所用的基本數(shù)字，他們指出，創(chuàng)造世界花了六天，二十八天則是月亮繞地球一周的日數(shù)。圣·奧古斯丁說：6這個數(shù)本身就是完全的，并不因為上帝造物用了六天；事實恰恰相反，因為這個數(shù)是一個完數(shù)，所以上帝在六天之內把一切事物都造好了，即使沒有上帝創(chuàng)造世界這種事，6仍舊不失其為完數(shù)。
完全數(shù)誕生后，吸引著眾多數(shù)學家與業(yè)余愛好者像淘金一樣去尋找。它很久
【疑難問題】
�、诺降子卸嗌偻耆珨�(shù)？尋找完全數(shù)并不
�、朴袥]有奇完全數(shù)？奇怪的是，已發(fā)現(xiàn)的46個完全數(shù)都是偶數(shù)，會不會有奇完全數(shù)存在呢？如果存在，它必須大于10^300。
至今無人能回答這些問題。
盡管沒有發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)，但是當代數(shù)學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數(shù)，則其形式必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是素數(shù)。在10^18以下的自然數(shù)中奇完全數(shù)是不存在的。
【完全數(shù)公式】
大數(shù)學家歐幾里德曾推算出完全數(shù)的獲得公式：如果2^p-1質數(shù)，那么(2^p-1)2^(p-1)便是一個完全數(shù)。p=2，2^p-1=3是質數(shù)，(2^p-1)2^(p-1)=3X2=6，p=3，2^p-1=7是質數(shù)，(2^p-1)2^(p-1)=7X4=28但是2^p-1什么條件下才是質數(shù)呢?
當2^p-1是質數(shù)的時候，稱其為梅森素數(shù)！顧名思義，就是梅森第一個系統(tǒng)地研究這種形式的素數(shù)的！事實上，至今，人類只發(fā)現(xiàn)了46個梅森素數(shù)，也就是只發(fā)現(xiàn)了46個完全數(shù)。
前10個完全數(shù)
6
28
496
8128
130816
2096128
33550336
536854528
8589869056
137438693128
